OPTIMIZATION SCHEMES ON MANIFOLDS FOR STRUCTURED MATRICES WITH FIXED EIGENVALUES
Schémas d'optimation sur les variétés pour des matrices structurées à spectre fixé
Résumé
Several manifold optimization schemes are presented and analyzed for solving a specialized inverse structured symmetric matrix problem with prescribed spectrum. Some entries in the desired matrix are assigned in advance and cannot be altered. The rest of the entries are free, some of them preferably away from zero. The reconstructed matrix must satisfy these requirements and its eigenvalues must be the given ones. This inverse eigenvalue problem is related to the problem of determining the graph, with weights on the undirected edges, of the matrix associated with its sparse pattern.
Our optimization schemes are based on considering the eigenvector matrix as the only unknown and iteratively moving on the manifold of orthogonal matrices, forcing the additional structural requirements through a change of variables and a convenient differentiable objective function in the space of square matrices. We propose Riemannian gradient-type methods combined with two different well-known retractions, and with two well-known constrained optimization strategies: penalization and augmented Lagrangian. We also present a block alternating technique that takes advantage of a proper separation of variables. Convergence properties of the penalty alternating approach are established. Finally, we present initial numerical results to demonstrate the effectiveness of our proposals.
Nous présentons et analysons plusieurs schémas d'optimisation destinés à résoudre des problèmes de matrice symétrique structurée spectre prescrit : les deux familles de contraintes à satisfaire portent d’une part sur les coefficients de la matrice (certains sont donnés à l’avance, d’autres doivent être différents de zéro, ceux restants étant nuls) et, d’autre part, sur le spectre qui est prescrit. Les schémas d'optimisation sont basés sur la l’ensemble des vecteurs propres comme la seule inconnue et sur le déplacement itératif sur la variété de matrices orthogonales, forçant les contraintes structurelles supplémentaires par un changement de variables et une fonction objectif différentiable dans l'espace des matrices carrées. Nous proposons des méthodes de type gradient riemannien combinées avec une stratégie de pénalisation ou une stratégie de lagrangien augmenté, et deux types de rétractions. Nous présentons également une technique d'alternance de blocs qui tire parti d'une séparation appropriée des variables. Les propriétés de convergence de l'approche alternée des pénalités sont établies. Enfin, nous présentons les premiers résultats numériques pour démontrer l’efficacité de nos méthodes.
Mots clés
Riemannian optimization Stiefel manifold inverse eigenvalue problems spectral graph theory augmented Lagrangian alternating direction method of multipliers AMS Subject Classification: 15A29 65F18 15A83 15B10 05C50 90C30
Riemannian optimization
Stiefel manifold
inverse eigenvalue problems
spectral graph theory
augmented Lagrangian
alternating direction method of multipliers
15A29
15A83
15B10
05C50
90C30
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