Conformally invariant metrics in pseudo-riemannian geometry
Métriques conformément invariantes en géométrie pseudo-riemannienne
Résumé
We are interested in manifolds equipped with a conformal class of pseudo-Riemannian metrics, called conformal manifolds. These manifolds naturally arise in the theory of relativity for studying the causal structure of space-time and in the analysis of the boundary of constant curvature spaces. Unlike pseudo-Riemannian manifolds, conformal manifolds have very few local invariants: only isotropic geodesics, also known as lightlike geodesics, have a conformal meaning. Moreover, their symmetry group can exhibit dynamics distinct from those of an isometry group. One of the classical problems in conformal geometry is to understand to what extent the dynamics of the symmetry group of a conformal manifold deviate from those of an isometry group. This is known as the problem of essentiality. For Riemannian conformal manifolds, Kulkarni, Pinkall, and Apanasov provided a constructive response to the essentiality problem by building, via Kobayashi–Royden theory, a conformally invariant Riemannian metric with low regularity. Motivated by their work, we investigate two constructions in pseudo-Riemannian conformal geometry: a conformally invariant pseudo-distance introduced by Markowitz, and a pseudo-Riemannian metric inspired by the canonical metric of Kulkarni, Pinkall, and Apanasov.
Nous nous intéressons aux variétés munies d’une classe conforme de métriques pseudo-riemanniennes, dites variétés conformes. Ces variétés apparaissent naturelle- ment dans la théorie de la relativité pour l’étude de la structure causale des espace-temps et dans l’étude du bord des espaces à courbure constante. Contrairement aux variétés pseudo-riemanniennes, les variétés conformes admettent peu d’invariants locaux : seules les géodésiques isotropes, appelées géodésiques de lumière, ont un sens conforme. Leur groupe de symétries peut avoir une dynamique différente de celle d’un groupe d’isométrie. Un des problèmes classiques de la géométrie conforme est de comprendre à quel point la dynamique du groupe de symétries d’une variété conforme s’éloigne de celle d’un groupe d’isométrie : c’est le problème d’essentialité. Pour les variétés conformes riemanniennes, Kulkarni–Pinkall et Apanasov ont apporté une forme de réponse constructive au problème d’essentialité en construisant, grâce à la théorie de Kobayashi–Royden, une métrique riemannienne conformément invari- ante à faible régularité. Motivé par leurs travaux, nous étudions deux constructions de Kobayashi–Royden en géométrie conforme pseudo-riemannienne. La première est une pseudo-distance conformément invariante introduite par Markowitz et la seconde est une métrique pseudo-riemannienne inspirée de la métrique canonique de Kulkarni–Pinkall et Apanasov.
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