A central limit theorem for the variation of the sum of digits
Résumé
We prove a Central Limit Theorem for probability measures defined via the variation of the sum-of-digits function, in base b≥2. For r≥0 and d∈Z, we consider μ(r)(d) as the density of integers n∈N for which the sum of digits increases by d when we add r to n. We give a probabilistic interpretation of μ(r) on the probability space given by the group of b-adic integers equipped with the normalized Haar measure. We split the base-b expansion of the integer r into so-called “blocks”, and we consider the asymptotic behaviour of μ(r) as the number of blocks goes to infinity. We show that, up to renormalization, μ(r) converges to the standard normal law as the number of blocks of r grows to infinity. We provide an estimate of the speed of convergence. The proof relies, in particular, on a ϕ-mixing process defined on the b-adic integers.
On prouve un Théorème Central Limite pour des mesures de probabilités définies grâce à la variation de la somme des chiffres en base b≥2. Pour r≥0 et d∈Z, on considère μ(r)(d), la densité des entiers n∈N pour lesquels la somme des chiffres augmente de d quand on ajoute r à n. On donne une interprétation probabiliste de μ(r) sur l’espace de probabilités donné par le groupe des entiers b-adiques muni de la mesure de Haar renormalisée. On décompose l’écriture en base b d’un entier r en ce que l’on appelle des “blocs”, et nous considérons le comportement asymptotique de μ(r) quand le nombre de blocs tend vers l’infini. On montre qu’à renormalisation près, μ(r) converge vers une loi normale centrée réduite quand le nombre de blocs de r tend vers l’infini. Nous fournissons une estimation de la vitesse de convergence. La preuve repose, entre autres, sur un processus ϕ-mélangeant défini sur les entiers b-adiques.